ریشه دوم ( نکاتی مهم در رابطه با ریشه دوم )

RSS

عضو شوید

:: فراموشی رمز عبور؟

عضویت سریع

نام کاربری :

رمز عبور :

موبایل :

ایمیل :

نام اصلی :

با سلام خدمت تمامی بازدیدکنندگان عزیز امیدوارم از بازدید خود از این وب سراسر علم لذت برده و از مطالب آن نهایت استفاده را ببرید . پیشرفت شما آرزو ماست.

خوارزمی []

آمار مطالب

:: کل مطالب : 29
:: کل نظرات : 0

آمار کاربران

:: افراد آنلاین : 0
:: تعداد اعضا : 0

کاربران آنلاین

آمار بازدید

:: بازدید امروز : 0
:: باردید دیروز : 0
:: بازدید هفته : 1
:: بازدید ماه : 3
:: بازدید سال : 130
:: بازدید کلی : 130

ریشه دوم ( نکاتی مهم در رابطه با ریشه دوم )

نوشته شده توسط : kharazmi2014

نکاتی مهم در رابطه با ریشه دوم ..

تابع ریشه دوم، $f(x) = \sqrt{x}$ ، تابعی است از مجموعه اعداد حقیقی غیرمنفی $\mathbb{R}^+ \cup \{0\}$ به خودش.
تابع ریشه دوم $f(x) = \sqrt{x}$ همواره مقداری منحصربه‌فرد برمی گرداند.
برای به دست آوردن هر دو جواب ریشه دوم، ابتدا اولین جواب را به دست آورید و آن را x₁ بنامید، سپس آن را از صفر کم کنید تا x₂ به دست آید (x₂ = 0 − x₁).
خواص زیر، مهم‌ترین خواص ریشه دوم هستند که برای هر عدد حقیقی مثبت $x$ و $y$ صحیح هستند:

\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y \qquad

\sqrt x = x^{1/2}

ریشه دوم تابعی است از اعداد گویا به اعداد جبری. $\sqrt x$ عددی گویا است، اگر و تنها اگر $x$ ....

ادامه متن در ادامه مطلب ....

تابع ریشه دوم، $f(x) = \sqrt{x}$ ، تابعی است از مجموعه اعداد حقیقی غیرمنفی $\mathbb{R}^+ \cup \{0\}$ به خودش.
تابع ریشه دوم $f(x) = \sqrt{x}$ همواره مقداری منحصربه‌فرد برمی گرداند.
برای به دست آوردن هر دو جواب ریشه دوم، ابتدا اولین جواب را به دست آورید و آن را x₁ بنامید، سپس آن را از صفر کم کنید تا x₂ به دست آید (x₂ = 0 − x₁).
خواص زیر، مهم‌ترین خواص ریشه دوم هستند که برای هر عدد حقیقی مثبت $x$ و $y$ صحیح هستند:

\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y \qquad

\sqrt x = x^{1/2}

ریشه دوم تابعی است از اعداد گویا به اعداد جبری. $\sqrt x$ عددی گویا است، اگر و تنها اگر $x$ عددی گویا باشد که بتوان آن را به صورت کسری از دو عدد مربع کامل نشان داد. به طور کلی، $\sqrt 2$ عددی گنگ است.
در هندسه، تابع ریشه دوم نگاشتی از سطح یک مربع به طول اضلاعش.
بر خلاف عقیده همه، $\sqrt{x^2}$ لزوماً برابر $x$ نیست. این برابری تنها در مواردی که $x$ غیرمنفی باشد صدق می‌کند. اما اگر $x <0$ باشد، طبق تعریف $\sqrt{x^2}$ است و این یعنی $\sqrt{x^2} = -x$ . در نتیجه برای هر عدد حقیقی $x$ داریم $\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ . (قدرمطلق را ببینید)

\sqrt{x^2} = \left|x\right| = \begin{cases} x, & \mbox{if }x \ge 0 \\ -x, & \mbox{if }x <0. \end{cases}

فرض کنید $x$ و $a$ اعدادی حقیقی هستند به طوری که $x^2 = a$ ، و ما می‌خواهیم که $x$ را بیابیم. یکی از اشتباهات رایج این است که آن را به «معادله جذر» تبدیل کنیم و از آن $x = \sqrt a$ را نتیجه بگیریم. این کار نادرست است، زیرا ریشه دوم $x^2$ برابر $x$ نیست، بلکه $\left| x \right|$ است (طبق یکی از خاصیت‌های فوق). اما ما می‌توانیم بگوییم $\left| x \right| = \sqrt a$ ، و در نتیجه $x = \pm\sqrt a$ .
در حسابان، مثلاً وقتی می‌خواهیم اثبات کنیم که تابع ما پیوسته یا مشتق‌پذیر و یا قابل حدگیری است، می‌توانیم از عبارت زیر استفاده کنیم:

\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y},

این عبارت برای تمام $x$ و $y$ های نامنفی به طوری که هر دو صفر نباشند صحیح است.

نمودار تابع $f(x) = \sqrt x$ به شکل زیر است، این نمودار از نصف یک سهمی ساخته می‌شود:

تابع در تمام $x$ های غیرمنفی پیوسته و برای تمام $x$ های مثبت مشتق‌پذیر است. (در $x=0$ مشتق‌پذیر نیست، زیرا شیب نمودار یا همان تانژانت در این نقطه ∞ است) مشتق این تابع برابر است با:

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.

در سری تیلور $\sqrt{x+1}$ در $x=0$ و برای $\left| x \right| <1$ می‌توان از بسط نیوتن استفاده کرد:

$\sqrt{x+1}\,\!$	$= 1 + \sum_{n=1}^\infty { (-1)^{n+1} (2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1} }x^n$
	$= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots$