ریشه دوم ( ریشه دوم اعداد منفی و مرکب )

RSS

عضو شوید

:: فراموشی رمز عبور؟

عضویت سریع

نام کاربری :

رمز عبور :

موبایل :

ایمیل :

نام اصلی :

با سلام خدمت تمامی بازدیدکنندگان عزیز امیدوارم از بازدید خود از این وب سراسر علم لذت برده و از مطالب آن نهایت استفاده را ببرید . پیشرفت شما آرزو ماست.

خوارزمی [29]

آمار مطالب

:: کل مطالب : 29
:: کل نظرات : 0

آمار کاربران

:: افراد آنلاین : 0
:: تعداد اعضا : 0

کاربران آنلاین

آمار بازدید

:: بازدید امروز : 0
:: باردید دیروز : 0
:: بازدید هفته : 2
:: بازدید ماه : 19
:: بازدید سال : 126
:: بازدید کلی : 126

ریشه دوم ( ریشه دوم اعداد منفی و مرکب )

نوشته شده توسط : kharazmi2014

ریشه دوم اعداد منفی و مرکب

مربع هر عدد منفی یا مثبت، عددی مثبت و مربع صفر همان صفر است. با این حال از هیچ عدد منفی نمی‌توان جذر گرفت. اما در یک سیستم اعداد بزرگ به نام اعداد مرکب، می‌توان از اعداد منفی هم ریشه دوم گرفت. برای این کار باید نوع جدیدی از عدد را با عنوان یکای مجازی تعریف کرد، که برابر با جذر عدد -۱ است. این عدد معمولاً به صورت $i$ (گاهی اوقات j) نمایش می‌یابد. از علامت زیر برای نمایش ریشه دوم عدد منفی $-x$ استفاده می‌کنیم:

$\sqrt{-x} = i\sqrt x$

زیرا:

ادامه متن در ادامه مطلب ...

ریشه دوم اعداد منفی و مرکب

$\sqrt{-x} = i\sqrt x$

زیرا:

$(i\sqrt x)^2 = i^2(\sqrt x)^2 = (-1)x = -x$ .

در این صورت آرگومان $i$ می‌تواند هم منفی و هم مثبت باشد. یکی از اشکالات استفاده از اعداد مرکب این نیست که اعداد منفی و مثبت معنی خود را از دست می‌دهند. این هم مشکلی جدید ایجاد می‌کند: ما نمی‌توانیم $\sqrt z$ را به عنوان ریشه دوم مثبت $z$ تعریف کنیم.

برای هر عدد غیر صفر $z$ همواره دو عدد $w$ وجود دارد که در عبارت w² = z صدق کند. تعریف معمول √z به این صورت است: اگر $z = r^{i\phi}$ در مختصات قطبی با $-\pi <\phi \leq \pi$ صدق کند، آن گاه داریم $\sqrt{z} = r^{i\phi \over 2}$ . همانطور که گفته شد، تابع ریشه دوم در همه جب هولومورفیک است به غیر از اعداد حقیقی غیرمثبت (که در این نقاط [پیوسته] هم نیست). سری تیلور $\sqrt{1+x}$ برای اعداد مرکب $x$ به طوری که |x| <۱ باشد، وجود دارد.

به گاه عددی به مستطیل شکل باشد، می‌توان از فرمول زیر استفاده نمود:

$\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}$

به یاد داشته باشید که چون تابع ریشه دوم در نقاط مرکب گسسته‌است، $\sqrt{zw} = \sqrt z \times \sqrt w$ نمی‌تواند همواره صحیح باشد. زیرا چندین «مثال نقض» برای آن وجود دارد، مثلاً عبارت زیر نشان می‌دهد که -۱ = ۱:

$-1 = i \times i = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \times -1} = \sqrt{1} = 1$

سومین مساوی را نمی‌توان اثبات کرد.

اگر چه آن قضیه تنها در -۱ نادرست است (در اعداد بزرگ‌تر از آن صحیح است)، √(zw) = ±√(z)√(w) برای &plusmn یعنی + یا - صحیح است. به یاد داشته باشید که √(c^۲) = ±c، و در نتیجه √(a^۲b^۲) = ±ab و √(zw) = ±√(z)√(w) که در آن a = √(z) و b = √(w) است.